热门冷门偏误为何并非一种偏误

了解热门冷门偏误为何并非一种偏误
博彩公司如何设置抽水？
为何接受热门选项上较小的优势？
要想准确做到这一点，就必须首先判断出哪些赔率准确反映出真实概率，然后再从中移除博彩公司设置的抽水。在许多投注盘口中，Pinnacle的赔率准确反映出真实概率，因为他们投入时间和金钱来收集常胜博彩玩家的意见，而不是找到然后限制这些玩家。

方差的真相
然而，移除博彩公司抽水时，事情变得复杂起来。因此，我们将在这篇文章中深入分析从特定盘口中移除抽水的最佳方式。为了做到这一点，我们必须站在博彩公司的角度上来思考，先弄明白他们如何抽水。

传统观点认为，在盘口上设置一样的抽水对博彩公司最有利。换言之，如果他们在一个盘口上将赔率减少为公平赔率的91%，那么就应该在另一个盘口上（如果是多向盘口，则在多个盘口上）减少同样的比例。例如，在NFL让分盘和总分盘上，大多数博彩公司的抽水比例大约为4.8%。因为让分盘旨在让双方有相同的机会，所以开出赔率需要先将抽水加上100%形成“庄家优势”，然后再乘以真实胜率来获得博彩玩家盈亏平衡的真实胜率：

50% * 104.8% = 52.4%
这会导致两队盘口为-110/-110，因为：

100 * [(52.4%/(52.4% - 100%)] ≈ -110
通过这种方式，无论博彩玩家投注哪个盘口或哪些赔率，博彩公司都会在他们身上获得相同的优势或预期价值。博彩公司因此不必关心他们在哪个选项上有过度风险，因为无论资金比例有多不平衡，他们的理论优势都一样。没错吧？

这种传统理论的问题在于，在很多很多情况下被证明是错误的。通过检查真实体育赛事的结果，并将它们与可投注的最准确收盘赔率做比较，好几位广受认可的作者表明确实存在“热门冷门偏误”（简称FLB）。他们的意思是博彩公司在盘口中设置抽水时存在偏误，冷门上的抽水比例比应该的要大，而热门上的则比应该的要小。这引发了两个问题：他们如何设置抽水？更重要的是，为什么他们接受热门上更小的优势，却坚持冷门上要有更大的优势？

平衡盘口中的预期价值和平衡最大预期增长之间存在微妙的差异。
解释为何会发生这种情况的理论和博彩公司以这种方式添加抽水的方法相关理论都多到车载斗量。然而，我将在下文中提出另一种理论，尝试同时解答这两个问题。

我的理论如下：如果盘口两方的优势相同，那么传统体育博彩公司（如果发生盘口投注比例失衡的情况，开盘受注者的资金受到风险）就无法获得最大利益。正好相反，当盘口任一方有过度风险都无所谓时，他们的最大利益才能最好得到满足——当盘口双方都有相同的最大预期增长（简称MEG）时，就会发生这种情况。盘口的最大预期增长是投注由凯利公式决定的完整凯利时的预期增长。

平衡盘口中的预期价值和平衡最大预期增长之间存在微妙的差异。如果博彩公司实际上用这种方法来设置抽水，那么我们在移除抽水时需要进行大量数学计算来得出可用的公式。为了使用我的理论凯利优化（TKO）法来回答这些问题，我们需要使用一些对数和大量代数来。不过如果我是正确的，那么我们将拥有一种从一组盘口中移除抽水的准确方法，更好地判断出我们投注的优势到底有多大。同时，我们还会明白为什么这么做对博彩公司最有利。

为了使得我的理论成立，我们需要证明，当博彩公司的最优资本比例在一个双向盘口中两个选项上都面临风险时，两个选项上的资本预期增长必须相等。当然，这个比例是通过凯利公式得出的。在这里顺便提一句，这种方法在概念上与Jonathon Brycki在2019年3月为Pinnacle撰写的文章“
谁该为热门-冷门偏误负责
”
中提出的理论相似，但他似乎从未得出最优抽水分配比例的最终答案。当以下关于盘口两边财富对数预期价值的方程为真时，就可以达到最大预期增长的正确平衡：

E = p * log(1 + f1b1) + q * log(1 – f1) = q * log(1 + f2b2) + p * log(1 – f2)
其中：

p, q = 分别为热门和冷门获胜的真实概率。

f1, f2 = 分别为热门和冷门上的最优资本风险比例

b1, b2 = 分别为热门和冷门上开出的赔率（即欧式赔率-1）

我们可以解出盘口双方真实赔率（开出赔率隐含概率的函数），比如：

p1, p2 = 分别为热门和冷门的隐含概率

b0= 冷门的真实净分数赔率

1/b0= 热门的真实净分数赔率

为了找出真实赔率，我们假设博彩公司有风险的资本比例正好是最优数量，因此我们可以使用简单的凯利公式方程式来替代分数f1、f2的赔率和概率，如：

E = p * log(1 + f1b1) + q * log(1 – f1) = q * log(1 + f2b2) + p * log(1 – f2)
p * log(1 + f1b1) - p * log(1 – f2) = q * log(1 + f2b2) - q * log(1 – f1)
p [log(1 + f1b1) - log(1 – f2)] = q [log(1 + f2b2) - log(1 – f1)]
假设：

f1* = p – q/b1 and f2* = p – q/b2
我们可以替代f1, f2并简化：
p [log(1 + pb1 - q) - log(1 – q + p/b2)] = q [log(1 + qb2 - p) - log(1 – p + q/b1)]
p log[(1 + pb1 - q)/(1-p+q/b1)]
= q log[(1 + qb2 - p) - log(1 – p + q/b1)]
p log[(p + pb1)/(p + p/b2)] = q log[(q + qb2)/(q + q/b1)]
p log[(p (1 + b1))/(p + p/b2)] = q log[(q (1 + b2))/(q + q/b1)]
p log[(p (1 + b1) * b2)/((p (1 + b2))] = q log[(q (1 + b2) * b1)/((q (1 + b1))]
p log[((1 + b1) * b2)/(1 + b2)] = q log[((1 + b2) * b1)/(1 + b1)]
此时，为了方便起见，我们可以转换为欧式赔率（O1, O2），然后转换为隐含概率（因为隐含概率是欧式赔率的倒数）：

p log[O1(O2 - 1)/O2] = q log[O2(O1 - 1)/O1]
p log[p2(1/p2 - 1)/p1] = q log[p1(1/p1 - 1)/p2]
p log[(p2/p1) * ((1 - p2)/p2)] = q log[(p1/p2) * ((1 - p1)/p1)]
p log[(1 - p2)/p1] = q log[(1 - p1)/p2]
b0 = p/q = log[(1 - p1)/p2] / log[(1 - p2)/p1]
b0 = log[p2/(1 - p1)] / log[p1/(1 - p2)]

b0 = log[p2/q1]
/ log[p1/q2]

这就是当博彩公司的风险比例是最优部分凯利公式时的答案。在单个盘口上，这可是很大的风险。如果任何一方的凯利部分更小时，答案仍是如此吗？在将这个非常简单的公式插入Excel并检查了较小但相等的完整凯利部分的预期增长（EG）之后，我发现每一方的预期增长都极其接近，无论博彩公司是否在热门或冷门上有冒风险的资金。因此，即使博彩公司在单个盘口上的冒风险的资金少于最优数额，但因为预期增长都是相同的，所以盘口哪一方冒风险仍旧并无不同。来自数百个（或数千个）不同同时盘口的少量预期增长结合在一起，提供了优势和风险之间的最佳平衡。
现在我们有了一个公式，可以从中做出可测试的预测。如果有实际数据支持，我们就能知道一种理论很可能是正确的。我不是什么数据行家，但我认识好几个这样的人。其中一位是Joseph Buchdahl，他收集了好多年的足球比赛结果数据，并在他的论文“
The Wisdom of the Crowd
”中将这些数据和寻找零抽水赔率的各种不同方法做配比。

另一位是Matt Buchalter（Twitter账号
@PlusEVAnalytics
）。他在数年前研究数种不同的移除抽水方法，发现使用概率尺度的方法和数据匹配度最高。我不知道概率尺度是什么，但他十分慷慨地发布了一张有公式的Excel表，所以我将他的方法和我的相等最大预期增长TKO法，以及Buchdahl研究的抽水赔率成比例法、对数函数法和赔率比率法做了比较。我计算了各种隐含概率的数字，并假设双向总利润率为1.8%（就像你可能在一个非常高效的Pinnacle市场中发现的那样），绘制了每个玩家增加的隐含利润率。结果如下：

相等抽水的黑线代表没有FLB时的情况。这和其余的截然不同。对数函数的曲线也有些不同，但其坡度方向至少和基于FLB的其他方法大致相同——冷门隐含概率上添加了更多的抽水，热门上则更少。我没有为Buchdahl的抽水赔率成比例法制图，因为这只会绘制出一条每个投注选项隐含抽水0.9%的水平线，因为其理论是每个投注选项上添加隐含概率的固定百分比。对于10%至90%之间的概率，这个答案与我的答案差距很小，所以我不想多加一条线来隐藏其他方法之间的微小差异——这些差异确实非常小。

对于这种类型的双向盘口，赔率比率法和概率尺度法追踪到的结果几乎和TKO法完全相同。这就是说要么它们全都非常准确，要么全都错得离谱。事实上，由于概率尺度法基于标准分数，因此在Buchdahl的新书“
Monte Carlo or Bust
”中有证据显示其数学本质和TKO法相同。

阅读：方差的风险是否会让你花钱？
Buchdahl在论文中对于数据的分析显示了对数函数模型更接近于他的方法，因此产生了大致相同的优越结果。那么，为什么这在我的图表中看起来如此不同？因为对数函数实际上更适合建模三向盘口（比如Joseph分析的1X2足球盘口），但赔率比率法更适合二向盘口。

那么，由于TKO法非常接近根据FLB得出的抽水分配的三个最佳近似值，我认为我们已经找到了博彩公司如何以及为何这样做的答案。而且，一旦你从预期增长（考虑到方差因素）而不是预期价值来看待博彩公司胜于博彩玩家的优势，你就会发现所谓的FLB根本不是“偏误”。这正是博彩公司应该设置抽水的方法，才能确保无论博彩玩家投注盘口的哪一方，他们都能同等获利。